进制 - 详解

世界上有10种人，懂二进制的和不懂二进制的。还有一种以为这只是个二进制笑话的。

一. 数字系统

1. 远古时期🔮：

在很久很久以前。。

1. 结绳记事
   
2. 石板刻线
3. …

弊端：数字越大，越难记录😓

于是，各个地方的人类发明了更为先进的计数方法。。。

2. 非位置化数字系统：

非位置化数字系统中，符号所在位置与其大小无关，数字的大小就是各个符号所表示的大小直接相加或相减的结果。

罗马数字就是一个典型的例子：

VVV = 5 + 5 + 5 = 15 != 555

3. 位置化数字系统：

位置化数字系统中，符号所占据的位置决定了其表示的值，数字的大小需要视各个符号所表示的大小及其所在位置而定。

它包括：
二进制（Binary）/八进制（Octal）/十进制（Decimal）/十六进制（Hexadecimal）/…

555 = 500 + 50 + 5 = 555 != 15

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由于非位置化数字系统效率太低，现在基本不再使用，位置化数字系统成为主流👍。

🙌因为人有十根手指头，所以很自然的选择了十进制进行数学运算。
🖥那么为什么计算机却选择使用二进制进行运算和存储呢？

二. 计算机使用二进制的原因

其实在历史上，世界上第一台通用计算机——ENIAC^[1] 使用的就是十进制。
但这台计算机运行还得靠手动插线拔线，非常麻烦且不可靠:

后来，现代计算机之父——冯·诺依曼^[2] 提出：采用二进制更有效率啊！

这是因为计算机是由电子元件组成的，而电子元件可以非常明确的表示出两种状态：通电/断电。
这两种状态非常适合用于二进制的表示：即1/0。

除了硬件实现简单之外，使用二进制还有抗干扰能力强的特点：
即使电压发生轻微波动，计算机也能很容易地分辨出表示1的高电平和表示0的低电平，从而减少误差。

再其次，二进制的符号“1”和“0”恰好与逻辑运算中的“对”（true）与“错”（false）对应，便于计算机进行逻辑运算。

等等。。

三. 进制转换⇄

在学习进制转换之前，我们先要理解好十进制的本质。

1. 十进制的本质：

十进制是基数为10的数字系统，逢十进一。

使用10个可用符号（0~9）来表示一个数字，数字的位置从右往左依次是个位、十位、百位、千位…，对应的权重依次为：10⁰、10¹、10²、10³…

如图：

这个数字的大小就等于：

1 × 10³ + 1 × 10² + 4 × 10¹ + 5 × 10⁰ = 1145
（由于这里权重就是在以十进制描述，因此十进制数字的大小其实就是这个数字本身）

2. 二进制的本质&二进制转换十进制：

二进制是基数为2的数字系统，逢二进一。

使用2个可用符号（0&1）来表示一个数字，数字的位置从右往左依次是个位、二位、四位、八位…，对应的权重依次为：2⁰、2¹、2²、2³…

如图：

这个二进制数字所代表的十进制数字就是：

1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2¹ + 1 × 2⁰ = 11

（这里我们仍然以十进制描述权重，所以所得结果就是二进制数字对应的十进制数字）

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问：二进制数101001对应的十进制数？

🎉恭喜你已经学会了二进制向十进制的转换。

八进制和十六进制又是什么鬼？

3. 类比：八进制/十六进制转十进制：

Ⅰ. 八进制转十进制：

八进制的本质同理，不再赘述。

🌰栗子：八进制数277对应的十进制数？

2 × 8² + 7 × 8¹ + 7 × 8⁰ = 191

Ⅱ. 十六进制转十进制：

十六进制就有点不同了，对于10~15的数字，我们采用字母A~F来进行表示：

十进制	十六进制
10	A
11	B
12	C
13	D
14	E
15	F

（对于基数大于十的进制的字符替换规则同理）

🌰栗子：十六进制数2AE对应的十进制数？

2 × 16² + 10 × 16¹ + 14 × 16⁰ = 686

4. 十进制转二进制：

要把十进制数转化为对应的二进制数，需要不断地将十进制数字除以2（商），获取商和余数，直到商为0，再将所得余数倒序排列，所得数字即为该十进制数对应的二进制数。

如图：

💡以下是证明过程：

设十进制数D对应的二进制为：
B = X_NX_N-1…X₂X₁（X_i = 0 或 1）

根据二进制定义：
D = X₁ × 2⁰ + X₂ × 2¹ + … + X_N × 2^(N-1)

将 D 除以 2：
D ÷ 2 = (X₁ × 2⁰ + X₂ × 2¹ + … + X_N × 2^(N-1)) ÷ 2 = X₁ ÷ 2 + X₂ × 2⁰ + X₃ × 2¹ + … + X_N × 2^(N-2)

因为X₁只能是0或1，在式子中唯独不能被2整除，所以：

• 余数 = X₁（即二进制的最低位）
• 新商 = X₂ × 2⁰ + X₃ × 2¹ + … + X_N × 2^(N-2)

继续对新商重复此过程：

• 第二次除以 2，余数 = X₂
• 第三次除以 2，余数 = X₃
• …
• 第N次除以 2，余数 = X_N，商为0，结束

将余数按计算顺序倒序排列：X_NX_N-1…X₂X₁，正好就是原始的二进制数B。

也可以从移位的视角来看：

除以2取余的操作，相当于把第一位二进制数作为余数提出来的同时，将所有第一位前的数统一向右移动了一位。
因此不断除以2，就是从右往左依次剥离二进制数的每一位，除到商为0就是每一位都剥离完了。
😎

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问：十进制数22对应的二进制数？

🎉恭喜你又学会了十进制向二进制的转换。

下课！(?)

其他进制呢？

5. 类比：十进制转八进制/十六进制：

Ⅰ. 十进制转八进制：

🌰栗子：十进制数900对应的八进制数？

如图：

Ⅱ. 十进制转十六进制：

🌰栗子：十进制数2717对应的十六进制数？

如图：

6. 二进制/八进制/十六进制的互相转换：

知道了二/八/十六进制和十进制的互相转换，那么当要将二/八/十六进制进行互相转换时，是否还要大费周章地先将其转换为十进制，再将十进制转换为目标进制呢？😦

以下是一些简便的计算方法👇

• 由于2³ = 8，所以每3位二进制可以转换为一位八进制：

  🌰举个栗子：

  10111001₍₂₎ => 10|111|001 => 1 × 2¹ + 0 × 2⁰|1 × 2² + 1 × 2¹ + 1 × 2⁰|0 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰ => 271₍₈₎

• 由于2⁴ = 16，所以每4位二进制可以转换为一位十六进制：

  🌰举个栗子：

  10111001₍₂₎ => 1011|1001 => 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2¹ + 1 × 2⁰|1 × 2³ + 0 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰ => B9₍₁₆₎

那么八进制又该如何转为十六进制呢？

采用二进制中转法比较简便：

步骤：

1. 先将八进制数每1位转为3位二进制（不足补零）。
2. 将所得二进制数每4位一组转为十六进制（不足补零）。

🌰举个栗子：

271₍₈₎ => 010|111|001 => 10111001₍₂₎ => 1011|1001 => B9₍₁₆₎

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以上说的全部反过来，就是：

• 八进制 → 二进制：每位八进制数展开为3位二进制。

• 十六进制 → 二进制：每位十六进制数展开为4位二进制。

• 十六进制 → 八进制：通过二进制中转：

  1. 十六进制 → 二进制（每1位转4位）。
  2. 二进制 → 八进制（每3位转1位）。

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😎只要理解了本质，我们可以将这些进制的换算方法类推到其他所有进制！

恭喜你已经学会了整数的进制转换！

困难预警：下面板块为进阶知识，初学者可选择跳过

四. 进阶-小数的进制转换

1. 十进制和二进制的转换：

Ⅰ. 十进制和二进制小数的本质：

（1）十进制：

（2）二进制：

Ⅱ. 二进制转十进制：

既然：

101₍₂₎ = 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰ = 5₍₁₀₎

那么同理：

101.11₍₂₎ = 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰ + 1 × 2^-1 + 1 × 2^-2 = 5.75₍₁₀₎

🌰栗子：

0.101₍₂₎ = 0.625₍₁₀₎

Ⅲ. 十进制转二进制：

要把十进制小数转化为对应的二进制小数，需要不断地将十进制数字乘以2（小数部分），获取结果的整数部分和小数部分，直到小数部分为0，再将所得整数部分顺序排列于小数点后，所得数字即为该十进制小数对应的二进制小数。（这里我们认为十进制数整数部分为0）

如图：

💡以下是证明过程：

设十进制小数D对应的二进制为：
B = 0.X₁X₂X₃…X_N（X_i = 0 或 1）

根据二进制定义：
D = X₁ × 2^-1 + X₂ × 2^-2 + … + X_N × 2^-N

将 D 乘以 2：
D × 2 = (X₁ × 2^-1 + X₂ × 2^-2 + … + X_N × 2^-N) × 2 = X₁ × 2⁰ + X₂ × 2^-1 + X₃ × 2^-2 + … + X_N × 2^-(N-1)

因为X₁是0或1，(X₁ × 2⁰)在式子中是唯一的整数，所以：

• 整数部分 = X₁（即二进制小数的小数点后第一位）
• 小数部分 = X₂ × 2^-1 + X₃ × 2^-2 + … + X_N × 2^-(N-1)

继续对小数部分重复此过程：

• 第二次乘以 2，整数部分 = X₂
• 第三次乘以 2，整数部分 = X₃
• …
• 第N次乘以 2，整数部分 = X_N，小数部分为0，结束

将整数部分按计算顺序排列：0.X₁X₂X₃…X_N，正好就是原始的二进制小数B。

也可以从移位的视角来看：

乘以2取整的操作，相当于把小数点后第一位二进制数作为整数部分提出来的同时，将所有小数点后第一位后的数统一向左移动了一位。
因此不断乘以2，就是从左往右依次剥离二进制小数的每一位，乘到小数部分为0就是每一位都剥离完了。
😎

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2. 重要提示❗：

Ⅰ. 无限循环小数：

只有能够拆分成若干个“分母是2的幂次的分数”的十进制小数才能被二进制用有限的数位表示！

如：

0.125₍₁₀₎ = 1/2³ => 0.001₍₂₎

0.625₍₁₀₎ = 1/2¹ + 1/2³ => 0.101₍₂₎

而其他的十进制小数会转换为无限循环的二进制小数：

0.325₍₁₀₎ => 0.010 1001 1001 1001…（无限循环）

Ⅱ. 精度问题：🤯

• 有限位数无法精确表示无限循环小数
  在计算机中，浮点数（如 float 或 double）的存储位数是有限的（如32位或64位），因此无限循环的二进制小数必须被截断，导致精度损失。

• 示例：

  • 如果计算机只能用 8位 存储小数部分：

    0.325₍₁₀₎ ≈ 0.01010011₍₂₎

  • 转换回十进制：

    0.01010011₍₂₎ = 0.32421875₍₁₀₎（误差：0.00078125）

  • 如果存储更多位（如64位双精度浮点数），误差会减小，但仍然无法完全精确。

Ⅲ. 亿堆栗子：

1. 🌰0.015₍₁₀₎ = 0.000 00011110101110000101 00011110101110000101…（无限循环）

2. 🌰0.1011₍₂₎ = 0.6875₍₁₀₎

3. 🌰0.011₍₂₎ = 0.375₍₁₀₎

3. 类比：其他进制：

Ⅰ. 其他进制转十进制：

1. 每位数字乘以基数的负幂次。
2. 将所有乘积相加，得到十进制值。

Ⅱ. 十进制转其他进制：

1. 将小数部分乘以基数，记录整数部分。
2. 再取小数部分，继续乘以基数，如此循环，直到小数部分为0或达到所需精度。
3. 按计算顺序排列整数部分于小数点后，得到目标进制的小数。

Ⅲ. 二进制/八进制/十六进制的互相转换：

当要将二/八/十六进制小数进行互相转换时，同样有一些简便的计算方法。

• 由于2^-3 = 1/8，所以每3位二进制小数可以转换为一位八进制小数：（不足补零）

  🌰举个栗子：

  0.10111001₍₂₎ => 0.101|110|010 => 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰|1 × 2² + 1 × 2¹ + 0 × 2⁰|0 × 2² + 1 × 2¹ + 0 × 2⁰ => 0.562₍₈₎

• 由于2^-4 = 1/16，所以每4位二进制小数可以转换为一位十六进制小数：（不足补零）

  🌰举个栗子：

  0.10111001₍₂₎ => 0.1011|1001 => 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2¹ + 1 × 2⁰|1 × 2³ + 0 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰ => 0.B9₍₁₆₎

那么八进制小数又该如何转为十六进制小数呢？

采用二进制中转法比较简便：

步骤：

1. 先将八进制小数每1位转为3位二进制小数（不足补零）。
2. 将所得二进制小数每4位一组转为十六进制小数（不足补零）。

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不太直观，证明一下：（八转二、十六转二为逆过程，不再赘述）

（1）二进制和八进制转换的证明：

$$\begin{align*} 0.b_1 b_2 b_3 b_4 b_5 b_6 \ldots_2 &= \frac{b_1}{2} + \frac{b_2}{4} + \frac{b_3}{8} + \frac{b_4}{16} + \frac{b_5}{32} + \frac{b_6}{64} + \ldots \\ &= \left( \frac{b_1 \times 4 + b_2 \times 2 + b_3 \times 1}{8} \right) + \left( \frac{b_4 \times 4 + b_5 \times 2 + b_6 \times 1}{8^2} \right) + \ldots \\ &= \frac{O_1}{8} + \frac{O_2}{8^2} + \frac{O_3}{8^3} + \ldots \\ &= 0.O_1 O_2 O_3 \ldots_8 \end{align*}$$

（2）二进制和十六进制转换的证明：

$$\begin{align*} 0.b_1 b_2 b_3 b_4 b_5 b_6 b_7 b_8 \ldots_2 &= \frac{b_1}{2} + \frac{b_2}{4} + \frac{b_3}{8} + \frac{b_4}{16} + \frac{b_5}{32} + \frac{b_6}{64} + \frac{b_7}{128} + \frac{b_8}{256} + \ldots \\ &= \left( \frac{b_1 \times 8 + b_2 \times 4 + b_3 \times 2 + b_4 \times 1}{16} \right) \\ &\quad + \left( \frac{b_5 \times 8 + b_6 \times 4 + b_7 \times 2 + b_8 \times 1}{16^2} \right) + \ldots \\ &= \frac{H_1}{16} + \frac{H_2}{16^2} + \frac{H_3}{16^3} + \ldots \\ &= 0.H_1 H_2 H_3 \ldots_{16} \end{align*}$$

Ⅳ. 亿堆栗子：

1. 🌰0.3125₍₁₀₎ => 八进制：

   0.3125 × 8 = 2.5 => 取2

   0.5 × 8 = 4.0 => 取4

   结果：0.3125₍₁₀₎ = 0.24₍₈₎

2. 🌰0.796875₍₁₀₎ => 十六进制：

   0.796875 × 16 = 12.75 => 取12(C)

   0.75 × 16 = 12.0 => 取12(C)

   结果：0.796875₍₁₀₎ = 0.CC₍₈₎

3. 🌰将 0.12₍₃₎ => 五进制：

   1. 转十进制：

      0.12₍₃₎=1 × 3⁻¹ + 2 × 3⁻² ≈ 0.555…₍₁₀₎

   2. 转五进制：

      0.555… × 5 = 2.777… => 取2

      0.777… × 5 = 3.888… => 取3

      0.888… × 5 = 4.444… => 取4

   结果：0.12₍₃₎ ≈ 0.234₍₅₎（近似）

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🎊完结撒花yeahh🎊

五. 其他の东东~

1. 存储单位：

在了解了进制后，我们还需要知道几个常用的计量单位：

1. 比特（bit）：

   表示一位二进制数字，即0或1

   是数据的最小存储单位

   例如二进制数字1011就是由4个比特组成的，分别是1、0、1、1

2. 字节（byte）：

   一个字节由8个比特组成：

   1byte = 8bit

   它是计算机的基本存储单位

   1字节可以表示的最大二进制数字，是：11111111

   11111111₍₂₎ = 255₍₁₀₎

还有其他常见单位及换算：

1KB(千字节 KiloByte) = 2¹⁰B = 1024B

1MB(兆字节 MegaByte) = 2¹⁰KB = 1024KB

1GB(吉字节 GigaByte) = 2¹⁰MB = 1024MB

1TB(太字节 TeraByte) = 2¹⁰GB = 1024GB

2. 不同进制数的读法：

如果你理解了数位，那么你就一定就能理解只有十进制才遵循“几千、几十、几百”的汉语读法
而其他进制只能逐位地读出各位上的数字（或字母）

例如：

1₍₂₎ + 1₍₂₎ = 10₍₂₎

就不能读成：

一加一等于十（?）

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在线进制转换工具：

在线进制转换

参考资料：

4分钟带你学会二进制

【最强干货】详解二进制，八进制，十进制，十六进制的相互转换

二进制，十进制转换进阶- 小数的二进制转换

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1. ENIAC（Electronic Numerical Integrator And Computer ”电子数字积分计算机”）。ENIAC是继ABC（Atanasoff-Berry Computer ”阿塔纳索夫-贝瑞计算机“）之后的第二台电子计算机，和第一台通用计算机，于1946年2月14日在美国宣告诞生。ENIAC的计算速度为每秒5000次加法或400次乘法，它是完全的电子计算机，能够重新编程，解决各种计算问题。 ↩︎

2. 约翰·冯·诺依曼（John von Neumann）对世界上第一台电子计算机ENIAC（电子数字积分计算机）的设计提出过建议，1945年3月他在共同讨论的基础上起草了一个全新的“存储程序通用电子计算机方案”——EDVAC（Electronic Discrete Variable Automatic Computer）。这对后来计算机的设计有决定性的影响，特别是确定计算机的结构，采用存储程序以及二进制编码等，一直为电子计算机设计者所遵循。 ↩︎