进制 - 详解
世界上有10种人，懂二进制的和不懂二进制的。还有一种以为这只是个二进制笑话的。
一. 数字系统
1. 远古时期🔮：
在很久很久以前。。
- 结绳记事
- 石板刻线
- …
弊端：数字越大，越难记录😓
于是，各个地方的人类发明了更为先进的计数方法。。。
2. 非位置化数字系统：
非位置化数字系统中，符号所在位置与其大小无关，数字的大小就是各个符号所表示的大小直接相加或相减的结果。
罗马数字就是一个典型的例子：
VVV = 5 + 5 + 5 = 15 != 555
3. 位置化数字系统：
位置化数字系统中，符号所占据的位置决定了其表示的值，数字的大小需要视各个符号所表示的大小及其所在位置而定。
它包括：
二进制（Binary）/八进制（Octal）/十进制（Decimal）/十六进制（Hexadecimal）/…
555 = 500 + 50 + 5 = 555 != 15
由于非位置化数字系统效率太低，现在基本不再使用，位置化数字系统成为主流👍。
🙌因为人有十根手指头，所以很自然的选择了十进制进行数学运算。
🖥那么为什么计算机却选择使用二进制进行运算和存储呢？
二. 计算机使用二进制的原因
其实在历史上，世界上第一台通用计算机——ENIAC[1] 使用的就是十进制。
但这台计算机运行还得靠手动插线拔线，非常麻烦且不可靠:
后来，现代计算机之父——冯·诺依曼[2] 提出：采用二进制更有效率啊！
这是因为计算机是由电子元件组成的，而电子元件可以非常明确的表示出两种状态：通电/断电。
这两种状态非常适合用于二进制的表示：即1/0。
除了硬件实现简单之外，使用二进制还有抗干扰能力强的特点：
即使电压发生轻微波动，计算机也能很容易地分辨出表示1的高电平和表示0的低电平，从而减少误差。
再其次，二进制的符号1和0恰好与逻辑运算中的对（true）与错（false）对应，便于计算机进行逻辑运算。
等等。。
三. 进制转换⇄
在学习进制转换之前，我们先要理解好十进制的本质。
1. 十进制的本质：
十进制是基数为10的数字系统，逢十进一。
使用10个可用符号（0~9）来表示一个数字，数字的位置从右往左依次是个位、十位、百位、千位…，对应的权重依次为：100、101、102、103…
如图：
这个数字的大小就等于：
1 × 103 + 1 × 102 + 4 × 101 + 5 × 100 = 1145
（由于这里权重就是在以十进制描述，因此十进制数字的大小其实就是这个数字本身）
2. 二进制的本质&二进制转换十进制：
二进制是基数为2的数字系统，逢二进一。
使用2个可用符号（0&1）来表示一个数字，数字的位置从右往左依次是个位、二位、四位、八位…，对应的权重依次为：20、21、22、23…
如图：
这个二进制数字所代表的十进制数字就是：
1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20 = 11
（这里我们仍然以十进制描述权重，所以所得结果就是二进制数字对应的十进制数字）
问：二进制数101001对应的十进制数？
🎉恭喜你已经学会了二进制向十进制的转换。
八进制和十六进制又是什么鬼？
3. 类比：八进制/十六进制转十进制：
Ⅰ. 八进制转十进制：
八进制的本质同理，不再赘述。
🌰栗子：八进制数277对应的十进制数？
2 × 82 + 7 × 81 + 7 × 80 = 191
Ⅱ. 十六进制转十进制：
十六进制就有点不同了，对于10~15的数字，我们采用字母A~F来进行表示：
| 十进制 | 十六进制 |
|---|---|
| 10 | A |
| 11 | B |
| 12 | C |
| 13 | D |
| 14 | E |
| 15 | F |
（对于基数大于十的进制的字符替换规则同理）
🌰栗子：十六进制数2AE对应的十进制数？
2 × 162 + 10 × 161 + 14 × 160 = 686
4. 十进制转二进制：
要把十进制数转化为对应的二进制数，需要不断地将十进制数字除以2（商），获取商和余数，直到商为0，再将所得余数倒序排列，所得数字即为该十进制数对应的二进制数。
如图：
💡以下是论证过程：
设已知一个二进制数字B，对应十进制数字为D
则：
B = XN…X4X3X2X1（这里的Xn都表示0或1，假设共有N位）
D = YM…Y4Y3Y2Y1 = X1 × 20 + X2 × 21 + X3 × 22 + X4 × 23 + … + XN × 2N（这里的Yn都表示0~9一整数，假设共有M位）
由于B = D，所以：
D ÷ 2 = D1 ······ m => B ÷ 2 = XN…X5X4X3X2 ······ X1（这里的Dn指第n次除以2所得的商，D1即为第一次；m表示余数0或1）
所以：（Bn表示Dn的二进制）
D1 = B1 = XN…X5X4X3X2; m = X1
继续进行以上操作，易得：
D2 = B2 = XN…X6X5X4X3; m = X2
D3 = B3 = XN…X7X6X5X4; m = X3
D4 = B4 = XN…X8X7X6X5; m = X4
…
DN-1 = BN-1 = XN; m = XN-1
DN = BN = 0; m = XN
商DN为0，结束。倒序排列所得余数m，得:
XNXN-1…X4X3X2X1 = B
😎
问：十进制数22对应的二进制数？
🎉恭喜你又学会了十进制向二进制的转换。
下课！(?)
其他进制呢？
5. 类比：十进制转八进制/十六进制：
Ⅰ. 十进制转八进制：
🌰栗子：十进制数900对应的八进制数？
如图：
Ⅱ. 十进制转十六进制：
🌰栗子：十进制数2717对应的十六进制数？
如图：
6. 二进制/八进制/十六进制的互相转换：
知道了二/八/十六进制和十进制的互相转换，那么当要将二/八/十六进制进行互相转换时，是否还要大费周章地先将其转换为十进制，再将十进制转换为目标进制呢？😦
以下是一些简便的计算方法👇
-
由于23 = 8，所以每3位二进制可以转换为一位八进制：
🌰举个栗子：
10111001(2) => 10|111|001 => 1 × 21 + 0 × 20|1 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20|0 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 => 271(8)
-
由于24 = 16，所以每4位二进制可以转换为一位十六进制：
🌰举个栗子：
10111001(2) => 1011|1001 => 1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20|1 × 23 + 0 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 => B9(16)
那么八进制又该如何转为十六进制呢？
采用二进制中转法比较简便：
步骤：
- 先将八进制数每1位转为3位二进制（不足补零）。
- 将所得二进制数每4位一组转为十六进制（不足补零）。
🌰举个栗子：
271(8) => 010|111|001 => 10111001(2) => 1011|1001 => B9(16)
以上说的全部反过来，就是：
-
八进制 → 二进制：每位八进制数展开为3位二进制。
-
十六进制 → 二进制：每位十六进制数展开为4位二进制。
-
十六进制 → 八进制：通过二进制中转：
- 十六进制 → 二进制（每1位转4位）。
- 二进制 → 八进制（每3位转1位）。
😎只要理解了本质，我们可以将这些进制的换算方法类推到其他所有进制！
恭喜你已经学会了进制的转换！
🎊完结撒花yeahh🎊
四. 其他の东东~
1. 存储单位：
在了解了进制后，我们还需要知道几个常用的计量单位：
-
比特（bit）：
表示一位二进制数字，即0或1
是数据的最小存储单位
例如二进制数字1011就是由4个比特组成的，分别是1、0、1、1
-
字节（byte）：
一个字节由8个比特组成：
1byte = 8bit
它是计算机的基本存储单位
1字节可以表示的最大二进制数字，是：11111111
11111111(2) = 255(10)
它们是我们理解计算机操作和存储机制的基础。
还有其他常见单位及换算：
1KB(千字节 KiloByte) = 210B = 1024B
1MB(兆字节 MegaByte) = 210KB = 1024KB
1GB(吉字节 GigaByte) = 210MB = 1024MB
1TB(太字节 TeraByte) = 210GB = 1024GB
2. 不同进制数的读法：
如果你理解了数位，那么你就一定就能理解只有十进制才遵循“几千、几十、几百”的汉语读法
而其他进制只能逐位地读出各位上的数字（或字母），并且最好说明其进制
例如：
1(2) + 1(2) = 10(2)
就不能读成：
一加一等于十（?）
在线进制转换工具：
参考资料：
ENIAC（Electronic Numerical Integrator And Computer ”电子数字积分计算机”）。ENIAC是继ABC（Atanasoff-Berry Computer ”阿塔纳索夫-贝瑞计算机“）之后的第二台电子计算机，和第一台通用计算机，于1946年2月14日在美国宣告诞生。ENIAC的计算速度为每秒5000次加法或400次乘法，它是完全的电子计算机，能够重新编程，解决各种计算问题。 ↩︎
约翰·冯·诺依曼（John von Neumann）对世界上第一台电子计算机ENIAC（电子数字积分计算机）的设计提出过建议，1945年3月他在共同讨论的基础上起草了一个全新的“存储程序通用电子计算机方案”——EDVAC（Electronic Discrete Variable Automatic Computer）。这对后来计算机的设计有决定性的影响，特别是确定计算机的结构，采用存储程序以及二进制编码等，一直为电子计算机设计者所遵循。 ↩︎